[DIVERS] logique tetravalente - ruminations

[Norman Molhant <nwm@vif.com>]

Bonjour!

Poursuivant mes ruminations sur les formules de Tillemans en logique
tétravalente, je suis arrivé à quelque chose qui mérite de vous être
présenté pour analyse et critique tous azimuths.

Tout d'abord rappel des formules de Tillemans (corrigées):
   oui : ¬ S
   non : ¬ ¬ S
   oui et non : ( ¬ S et ¬ ¬ S )
   ni oui ni non : ¬ ( ¬ S ou ¬ ¬ S )

Utilisant plutôt la paire de symboles ¿ ¤ pour désigner ce qui est
connaissable de la totipotence (donc ¿ est l'opérateur de réduction
au connaissable et ¤ désigne la totipotence), nous pouvons définir
les opérateurs suivants:
     ¡ l'opérateur "oui-existe" qui donne de son argument les
       éléments dont on peut vérifier l'existence
   ¬ ¡ l'opérateur "non-existe" qui donne de son argument les
       éléments dont on peut vérifier la non-existence

On peut alors décrire les sous-ensembles "vrai" et "faux":
   vrai  =  ¡ ¿ ¤
   faux  =  ¬ ¡ ¿ ¤

Ce qui permet d'écrire comme définition de ¬ l'expression:
   faux  =  ¬ vrai

Ajoutons les opérateurs usuels de la tétravalence:
   & l'opérateur intersection de deux ensembles
   | l'opérateur union de deux ensembles
   - l'opérateur complément dans l'ensemble {T,F,B,N}

On peut alors définir les 4 pôles de la tétravalence:
   B  =   vrai &  faux
   N  =  -vrai & -faux
   T  =   vrai & -faux
   F  =  -vrai &  faux

Ce qui se formule:
   B  =    ¡ ¿ ¤ &   ¬ ¡ ¿ ¤
   N  =  - ¡ ¿ ¤ & - ¬ ¡ ¿ ¤
   T  =    ¡ ¿ ¤ & - ¬ ¡ ¿ ¤
   F  =  - ¡ ¿ ¤ &   ¬ ¡ ¿ ¤

On peut mettre les opérateurs - ¬ ¡ en évidence, ce qui donne:
   B  =  (   ¡ &   ¬ ¡ ) ¿ ¤
   N  =  ( - ¡ & - ¬ ¡ ) ¿ ¤
   T  =  (   ¡ & - ¬ ¡ ) ¿ ¤
   F  =  ( - ¡ &   ¬ ¡ ) ¿ ¤

La loi de De Morgan permet de réécrire:
   B  = - ( - ¡ | - ¬ ¡ ) ¿ ¤
   N  = - (   ¡ |   ¬ ¡ ) ¿ ¤
   T  = - ( - ¡ |   ¬ ¡ ) ¿ ¤
   F  = - (   ¡ | - ¬ ¡ ) ¿ ¤

On voit qu'on a retrouvé les formules de Tillemans désambigüées:
   vrai            =     ¡ ¿ ¤
   faux            =             ¬ ¡ ¿ ¤
   vrai et faux    =   ( ¡ ¿ ¤ & ¬ ¡ ¿ ¤ )
   ni vrai ni faux = - ( ¡ ¿ ¤ | ¬ ¡ ¿ ¤ )

En mettant les opérateurs - ¬ ¡ en évidence, cela donne:
   vrai            =     ¡         ¿ ¤
   faux            =         ¬ ¡   ¿ ¤
   vrai et faux    =   ( ¡ & ¬ ¡ ) ¿ ¤
   ni vrai ni faux = - ( ¡ | ¬ ¡ ) ¿ ¤
Ceci me paraît plus élégant...

Les équivalents en PL4C seraient:
   {T,B}           =     ¡         ¿ ¤
   {F,B}           =         ¬ ¡   ¿ ¤
   B               =   ( ¡ & ¬ ¡ ) ¿ ¤
   N               = - ( ¡ | ¬ ¡ ) ¿ ¤

Voilà, voilà, voilà!
Avis, opinions et corrections bienvenus!

Amitiés,
          Norman.

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